Este es un tema que ya he tratado en mi libro "Filosofía Crítica Trascendental, Cap. 06, § De Hume a Kant-Laplace, y regreso a Aristóteles", pero que ahora con estudios recientes he ampliado y quiero compartir.


Introducción general

Fruto de una cultura occidental y empirista, la gnoseología de Hume trató a las ideas cognitivas como fruto de la estructuración cerebral dada únicamente por las percepciones sensoriales. Esto es decir que los conocimientos aquí no son sino ideas forjadas de la percepción sensible, de la fenomenología espacio-tiempo. Esto determinó una lógica agnóstica de la ley de la causalidad, puesto que la misma enlaza a las causas y sus efectos pero que no puede ser conocimiento. No es fruto del tiempo-espacio. Esto se conoció como escepticismo de Hume.

Aquí deseo frenar y comentar algo. Me refiero al significado del vocablo y concepto de "conocimiento". En mi libro "Filosofía Crítica Trascendental" he relacionado el mismo al vocablo "trascendental", y esto porque Immanuel Kant lo ha considerado primero como un "conocimiento de las condiciones de la posibilidad" de algo; esto es, que lo que conocemos es el mismo aspecto, o bien sinónimo, de lo que "sentimos" como dado por sus posibilidades. Y este sentir interno, otorgado por la percepción sensible (PES) y la extrasensible (PES), en este estudio es aplicado sólo al primero.

Dicho en términos más sencillos, sólo podemos captar con nuestra sensibilidad las entradas y salidas de un sistema causal, pero no al sistema en sí porque éste no transcurre ni se espacializa con carácter fenomenológico. Por eso nos dice Hume escépticamente: nada de lo que hay en el efecto me dice algo de su causa, sino sólo el hábito ---aprendizaje neurofisiológico.

Así, todas las fenomenologías podemos llevarlas a funciones matemática-físicas cognoscibles:



que para simplificar nuestro análisis y explicación solamente consideraremos la variable tiempo .

Dicha postura ha sido superada (no solucionada) por Kant y Laplace, que entiendo se contactaron por vías escritas, y resolvieron el efecto de una misma manera pero a dos voces diferentes: el primero a través de los principios de razón (filosofía) y el otro con la física (matemática). Ambos propusieron un cambio de variable: no usar el tiempo-espacio sino la frecuencia, y se analizaría entonces esta cuestión desde una manera espectral. Se conocería esto como convolución laplaciana.

Preocupado Kant entre otras tantas cosas por la postura escéptica de Hume, decide proponer una solución. En su obra cumbre Crítica de la razón pura dice que la ley de causa-efecto es algo que uno trae a priori, es decir, desde el nacimiento, y que le permite a uno formalizar al fenómeno en una ley. Es decir que, si bien esta no se halla a ciencia cierta en la Naturaleza exterior a uno, sí empero se encuentra en la Naturaleza interior. Más tarde fuera Schopenhauer quien la determinara como característica cognitiva del proceso cerebral. Esta historia empero no termina aquí. Sabemos que Kant mantenía correspondencia con Laplace y, no debiera ser casual entonces, que exponga los conceptos de la convolución laplaciana. Seguidamente exponemos el párrafo⁽¹⁾:

"Se trata, pues, de ver cómo una cosa [...] Todo cambio es, pues, posible sólo por una acción continua de la causalidad, que en tanto que es uniforme se llama momento. El cambio no se compone de estos momentos, sino que resulta como su efecto. Tal es la ley de la continuidad de todo cambio. El principio de esta ley es: Ni el Tiempo ni el fenómeno en el Tiempo, se componen de partes que sean las más pequeñas posibles, y sin embargo, la cosa en su cambio no llega a su segundo estado sino pasando por todas estas partes como por otros tantos elementos. [...] innecesario explicar cómo es posible. [...]"

y que comparamos a continuación con la fórmula de la convolución laplaciana



Así las cosas, las cuerdas de la guitarra producen un timbre en tiempo-espacio, aunque podemos analizar su cuestión como armónicos. Este método no es sino una técnica abstracta, una ideación cognitiva. Dicho de otra manera, la ley de la causalidad se entiende pensándola pero no conociéndola puesto que no es fenómeno.

Se dirá sencillamente a Hume que tendría razón y que la fenomenología de la causalidad en el tiempo-espacio no se la puede conocer, pero eso no nos impide de que la podamos pensar (abstracción cognitiva), como solución del primero.

Así, todas las leyes causales podemos llevarlas a funcionales matemáticas (funciones de distribución) y no son cognoscibles aunque sí pensables:



que para simplificar nuestro análisis y explicación solamente consideraremos la variable tiempo .

Aquí quiero salvar, explicar una cuestión. Mucha gente dice entender las cuestiones abstractas, pero, en realidad, las categorías del entendimiento que podrán ser a priori (genéticas o hereditarias) o a posteriori (adquiridas) desde el nacimiento, sólo permiten indagar su propia especificidad. Por ejemplo, no podríamos entender a priori las fenomenologías porque ello se suceden luego del nacimiento, pero sí estaremos preparados para sus entender nociones abstractas una vez formadas en nuestro intelecto. Por todo esto, entender la convolución laplaciana como fundamento superador del escepticismo de Hume no se podrá desde la mira fenoménica, es decir, desde el esfuerzo de comprensión de la ley de causalidad como algo espacio-temporal. No será asequible. Sólo podrá asimilarse desde el enfoque de la abstracción espectral.


La convolución

Este concepto matemático no dista de su comprensión física.
Se realizará el producto de convolución de dos funciones: f (t)

(t - ) que posea el sistema. De esta manera la señal total y(t) será la suma de todos los aportes impulsionales.

yk (t)  =  Area. g (t-k)  =   f (k). . g (t-k)  =              n                     n y* (t)  =     yk (t)  =       f (k). . g (t-k)              k=1                  k=1                                                           t                                  t y (t)  =  lím      y* (t)  =  g (t) f (t)  =  g (t - )  f ()   =  f (t - )  g ()             n                                 0                                  0

Considerando a g (t) como una simple función matemática

De una manera general y no necesariamente para un sistema causal, la convolución de dos funciones se define como la integral del producto de ambas (área) después de desplazar a una de ellas cierta "distancia" (t - ).

t g (t) f (t)  =  g* (t - )  f ()                      0

Aquí g (t) es el funcional (función de distribución) que se aplica a la función de prueba (o de test) f (t)

( g (t) , f (t) )  =  g* (t)  f (t) x


Así y sencillamente, la convolución nos dice que el fenómeno observado del presente es la suma de los resultados del pasado, momento a momento dados.



Ejemplos ilustrativos

Para explicar con mayor claridad el tema, nos vamos a sumergir en una serie de ejemplos.

Se deberá recordar lo que es la transferencia espectral T(s) de un sistema. Ella es el cociente salida a su entrada en la variable espectral compleja s = + j , y su anti-transformación por Laplace implicará la respuesta al impulso (0) (que aquí denominamos transferencia temporal g (t)). Esto se debe a que si la excitación es un impulso su espectro es constante y unitario, determinando un espectro a la salida con la misma forma que la transferencia espectral. En suma:

T(s) =  y(s) / f (s)  =  (0)


1º)  Sea un sistema que tenga una transferencia unitaria, es decir, que deje pasar toda entrada sin deformarla, y que a su vez le aplicamos una señal en rampa (triangular)

T(s) = 1 g (t) = -1 T(s) =  (0) f (t)  =  k.t  f (s)  =  f (t)  =   k / s2 y (s)  =  T(s).f (s)  =  k / s2   y (t)  =  -1 y (s) =  k.t

2º)  Sea un sistema que tenga una transferencia inercial real de un solo polo, y que a su vez le aplicamos una señal cuadrada

T(s) = 1 / (s + 1) g (t) = -1 T(s) =  exp -t/ f (t)  =  (t) - (t-1)  f (s)  =  f (t)  =   (1 - exp -s) / s y (s)  =  T(s).f (s)  =  (1 - exp -s) / s (s + 1)  y (t)  =  -1 y (s) =  (t) (1 - exp -t/) - (t-1) (1 - exp -t/)

2º)  Sea un sistema que tenga una transferencia pasabajos teórica, y que a su vez le aplicamos una señal cuadrada. Por la transformación de Fourier tenemos el espectro siguiente

1/2 T()  =  g (t)  exp -jt   t = 1.  exp -jt t  =  1. ( sen T/2 ) / T/2              -                          -1/2

determinándonos una salida

g (t) = (t) - (t-) T(s) = g (t) =  (1 - exp -s) / s f (t)  =  (t) - (t-)  f (s)  =  f (t)  =   (1 - exp -s) / s y (s)  =  T(s).f (s)  =  exp -s / s2  y (t)  =  -1 y (s) =  (t-) (t - )	Convolución de dos pulsos cuadrados (la función resultante termina siendo un pulso triangular)