v  =  x / ti    velocidad del vagón (tren) h  =  c. ti    recorrido visto desde afuera del vagón y  =  c. tp    altura del vagón

donde t_p = tiempo propio (nuestro dentro del vagón); t_i = tiempo impropio (o sea del observador afuera del vagón); x, h = espacios impropios; y = espacio propio.

Si planteamos por Pitágoras la hipotenusa "h" podremos deducir con los planteos precedentes el factor de Lorentz ""

h2 = y2 + x2 = y2 (1 + x2/y2)    y2 = h2 [1 - (v/c)2]  = h2 / 2   1 <    1 / [1 - (v/c)2] <     factor de Lorentz

y con ello la contracción del espacio y la dilatación del tiempo

y = h /   contracción de la trayectoria "y"
t_p = y / c = (h / ) / c = [(c.t_i) / ] / c = t_i /   dilatación del tiempo propio "t_p" (o sea que t_i > t_p) por Lorentz

Así, cuando "y" se inclina (o sea que "h" aumenta) se apreciará en el camino la contracción del espacio por Lorentz

x_p = x /   contracción del espacio propio "x_p" (o sea que x = x_i > x_p) por Lorentz

Y es de esperar que si el espacio disminuye, también lo haga su tiempo, porque de otra manera la ousía (esencia del objeto u "objeto sustancial") se modificaría. En otros términos, al avanzar el vagón para el observador externo el espacio-tiempo del viajero se contrae: por ejemplo un metro-segundo en éste implicará más metros-segundos en el observador fijo. Conceptualmente y de manera sencilla: si el espacio aumenta veces, también obviamente lo hará en el tiempo, y viceversa. Por tanto, un viaje al futuro sin regreso perfectamente se da en cada ousía que aumenta su velocidad con respecto a la otra.

En una anotación matricial abreviada podríamos escribir esto como [s_p; t_p] = [s_i; t_i] /   donde s^> es el vector indicador de las 3 dimensiones y cuyo módulo por Pitágoras resulta s = [x² + y² + z²].

Por otro lado, aclaramos para hacer extensivo este ejemplo a nuestras vidas y experiencias, de más estará decir que no todos andamos por allí presentando una linterna y apuntándola al techo, ni los objetos con que nos relacionamos disponen de ella, sino que "siempre la llevamos con nosotros en el bolsillo ()" y, de no ser así, "urgente" aprópiese de una para que estos efectos también valgan con usted.

§ Otro ejemplo más

Imaginemos que estamos dentro de un vagón de tren en movimiento, con células fotoeléctricas idénticas en ambos extremos que accionan las puertas. Si encendemos una luz en el centro del vagón, veremos que ambos rayos alcanzan simultáneamente las fotoceldas y las puertas se abren al mismo tiempo.

Para un observador externo, en cambio, el vagón se desplaza con velocidad "v". Desde su punto de vista, la luz llega primero a la fotocélula trasera, que se mueve hacia el punto de emisión, y luego a la delantera, que se aleja. Las puertas, por lo tanto, se abren en instantes distintos.

La paradoja se disuelve al comprender que la simultaneidad no es absoluta. Para que ambos observadores describan una realidad físicamente coherente, es necesario introducir la corrección relativista: en el sistema externo, los rayos no recorren la misma distancia. El rayo que va hacia adelante debe cubrir un trayecto mayor que el que va hacia atrás. Esta diferencia queda exactamente compensada por el factor de Lorentz.


§ La contracción tangencial

De manera análoga a la anterior, realizaremos un "experimento del pensamiento". Pensaremos que nos encontramos ahora dentro de un vehículo espacial rotando alrededor de un centro imaginario.

Como llevamos aquí una velocidad tangencial "v", será el mismo caso que el estudio precedente y por tanto tendremos una contracción espacial por delante de nuestro recorrido conforme al factor de Lorentz . Lo llamativo aquí es que dicho perímetro "p" recorrido no se corresponderá con la longitud del diámetro esperado sino que resultará menor en veces. Y esto es así para nosotros que estamos observando la trayectoria, es decir, que nos encontramos fuera del vehículo al igual que en el caso de la trayectoria rectilínea. El espacio para el vehículo se contraerá veces y su tienpo se dilatará veces para el observador fijo fuera del sistema.

La Tasa de cambio de coordenadas

Supongamos tener un objeto en cierto punto del espacio 3D. Su proyección a cada coordenada "x, y, z", lo determinará el coseno del ángulo comprendido. Esto no es ninguna novedad. Bien a ete coseno lo llamaremos "tasa de cambio de coordenadas".

Bueno, cuando estamos en las 4D relativistas, o sea la 3D mencionada más el tiempo, la "tasa de cambio decoordenadas" de proyección ya no es el coseno, sino la velocidad de la luz "c" (aprox. 300.000 km/s).

En otras palabras, la velocidad de la luz c es una constante fundamental en la teoría de la relatividad de Einstein, y se considera una tasa de cambio de coordenadas entre el espacio y el tiempo. En otros términos, es la magnbitud a la que se "intercambian" las coordenadas espaciales y temporales.


La masa relativista

Cuando un objeto que posee una masa en reposo "m" viaja a una velocidad "v" como en el ejemplo precedente, por ejemplo dentro del mismo vagón o por cuenta propia, la misma cambia para el observador afuera. Esto lo podemos deducir partiendo de la aceleración propia que psee "a_p"

a_p = v / t_p = (x/t_i) / t_p = (x/t_i) / (t_i / ) = . (v_i) / (t_{i i}   = . a_i

donde por la fuerza "f" por Newton y el principio de conservación de la energía podemos igualar

f_i = m. a_p = m_i. a_i

resultando finalmente una masa relativista "m_i" que aumenta con la velocidad de la misma manera y proporcional que el factor de Lorentz

m    m_i = m   <   ampliación de la masa

y por ello la ecuación original de la Relatividad Especial (Restringida) debe corregirse de una manera General así

E = m c²    energía y masa equivalente m_i


La masa curva el espacio-tiempo

Ofrecida por Einstein como la "Idea más feliz de su vida", presentó la correspondencia entre la gravedad terrestre como un caso similar al de lo que ocurre en un sistema inercial ordinario, denominando al efecto como "Principio de la Equivalencia".

En otras palabras, lo que vimos con anterioridad en "§ La contracción tangencial" se da también para un objeto de masa "m" posado sobre una esfera. En otros términos, para este objeto el espacio-tiempo se verá afectado veces.

O sea, se concluye, que la masa curva al espacio-tiempo también en su derredor. Cuanto más nos acercamos de su centro, más se "contraerán" tanto el espacio como el tiempo para un observador fuera del sistema, y el objeto o individuo que vive este acercamiento al centro ni se entera.

Es bastante común que se represente este efecto tridimensional con mallas, embudos o colchones que son deformados por una bola pesada, y luego haciendo girar una bolilla para representar el efecto de que "cae" al centro. Nada más desacertada, desafortunada y ridícula ejemplificación, quiero aclarar esto. Si se usara un colchón nuevo (), que no se hunda y se aprecie el efecto en un plano, entonces no habría ejemplificación que valga. No hay "caída", se debe desmitificar esto.




La experiencia de Eddington

Para el año 1919 el físico Eddington corrobora estos principios relativistas al medir la trayectoria curva de la luz de una estrella que se encontrara por detrás del Sol en una observación de eclipse lunar para aprovechar la situación y poder fotografiarla.

La Gravedad relativista

Es éste un concepto de difícil aprensión. Para abordar el tema se es consciente que deben acuñarse los conceptos de la matemática de los espacios curvos de Riemann, los tensores, etc. Pero he encontrado una manera sencilla igual de comprenderlo, y a eso apunto.

Nos valdremos de lo que se ha explicado en el apartado precedente de "§ La contracción tangencial" y de la experiencia de Eddington.

Así, un objeto o nosotros mismos detenidos sobre la superficie terrestre, equivaldremos a un sistema inercial viajando tangencialmente sobre la superficie de la Tierra a la velocidad de su propia rotación. Por tanto, nuestro verdadero camino para no falsear la relación entre el perímetro y su diámetro, que es , necesariamente convergeremos a un diámetro menor que se encuentra dentro del propio planeta. Es así como no podremos desprendernos de su superficie porque la misma nos frena llegar a este régimen de estabilidad. Por eso es importante la experiencia de Eddington, porque supera el "Principio de Equivalencia"; es decir, que muestra la independencia de la contracción espacio-temporal de un concepto de rbita inercial. Dicho de otra manera, la curvatura del espacio-tiempo que producimos al rotar nos implicará un recorrido que no puede ser otro que el interno al planeta, y por eso "caemos", la gravedad de la masa de la Tierra nos "ha atraído" (por decirlo de alguna manera) según la gnoseología newtoniana.
La Gravedad Newtoniana y la Einstiana La que hemos visto hasta ahora, la relativista, es la que también se podría llamar Einstiana (o bien Aristotelista). La otra, es la de Newton. Ésta última puede ejemplificarse para campos de fuerza gravitatorios einstianos débiles. La primera en la historia del ser humano ha sido la de Aristóteles al observar con su sencillez e ingenuidad que "cada cuerpo tiende a ir a ocupar su lugar natural", donde la locación que le ha dado la Naturaleza para el equilibrio. Esta idea formaba parte de su filosofía natural y cosmología, y ha sido un precursor conceptual de las teorías modernas de la gravedad (entre otros temas). La segunda, ya científica y extraordinaria, fue planteada por Newton, donde observara que la gravedad es una fuerza de atracción entre masas, o podríamos decir de partículas atómicas según su peso. Su famosa ecuación será por todos conocida: f = m1. m2. G / d2 donde f [N] es la fuerza de atracción entre los cuerpos, m1 [kg] y m2 [kg] sus masas respectivas, G [ 6,674. 10-11 [m3/kg.s2] una constante gravitatoria universal de proporcionalidad y d [m] la distancia entre los centros de las masas. De tal manera esto es cierto, que cuando un objeto está posado sobre el suelo, nos cuesta despegarlo (levantarlo). Ahora, en tercera aparición, viene la Teoría de la Relatividad de Einstein, que como se indicó en este apartado y tal cual se volviera a lo anticipado por Aristóteles, los objetos tienden a un lugar estable dentro del planeta. Y que no es necesariamente un "fuerza". Entonces, allí viene la pregunta: "¿Es al final la gravedad una fuerza o no lo es?". Bien, la respuesta en primera instancia sería, al igual que la dualidad onda-partícula de la luz, que posee ambas interpretaciones y que se ajustarían a tal o cual fenómeno para explicarlo. Pero debemos saber que (al menos para mi compensión), no es así. Hay una sola verdad y es la segunda: la einstiana, donde para campos de gravedad débiles se la puede aproximar a la newtoniana. Veamos seguidamente esto. Así, hay algunas formas de ver cómo la gravedad newtoniana emerge como una aproximación de la relatividad general. Una forma de ver la aproximación es considerar el límite de campo débil en la relatividad general. En este límite, la métrica del espacio-tiempo se puede escribir como una perturbación pequeña de la métrica de Minkowski: gµ = hµ + hµ donde hµ es la métrica de Minkowski y hµ es una perturbación pequeña. En este límite, las ecuaciones de Einstein se pueden linealizar y se obtienen ecuaciones que describen la propagación de ondas gravitacionales y la interacción entre la materia y el campo gravitatorio. En el límite de velocidades pequeñas y campos débiles, las ecuaciones de Einstein linealizadas se reducen a la ecuación de Poisson para el potencial gravitatorio: 2 F = 4Gr donde F es el potencial gravitatorio, G es la constante de gravitación universal y r es la densidad de masa. Y, a partir de esta ecuación, se puede derivar la fuerza gravitatoria que actúa sobre una partícula de prueba: f  =  - m F que es la fuerza gravitatoria newtoniana. En este sentido, las ecuaciones de aproximación que relacionan la relatividad general con la gravedad newtoniana son: - Las ecuaciones de Einstein linealizadas, que describen la propagación de ondas gravitacionales y la interacción entre la materia y el campo gravitatorio en el límite de campo débil. - La ecuación de Poisson para el potencial gravitatorio, que se obtiene en el límite newtoniano. Estas ecuaciones muestran cómo la gravedad newtoniana emerge como una aproximación de la relatividad general en el límite de velocidades pequeñas y campos débiles
Resumen "Todos llevamos, en cierto sentido, una linterna encendida en el bolsillo". Todo lo que ocurre con la luz en los fenómenos relativistas también se aplica a nuestro propio cuerpo: el tiempo, el espacio y el movimiento nos afectan del mismo modo. Primero, partimos del hecho de que la velocidad de la luz siempre es constante, sin importar quién esté observando o dónde y cómo se encuentre. En el ejemplo del vagón de un tren (contracción de Lorentz donde simplemente se muestra que cuando un pasajero ve dentro de él un recorrido de un haz de luz, el que está fuera lo ve también pero con un derrotero mayor), se muestra que cuanto más rápido nos movemos, más corto es nuestro tiempo. Esto significa que, a medida que nuestra velocidad aumenta, el tiempo pasa más rápido para nosotros en comparación con alguien que está en reposo. Dado que nuestro cuerpo no cambia de forma al movernos, podemos deducir que el espacio que recorremos también se comprime en la dirección en la que nos desplazamos. Y en la misma proporción que el tiempo. Aparentemente estamos quietos en la superficie de la Tierra, pero en realidad nos movemos con ella debido a su rotación. Esto implica que nuestro recorrido sobre ella no es el del perímetro completo del planeta, sino uno menor. Este camino más corto explica por qué permanecemos adheridos al suelo, puesto que nuestro perímetro de derrotero es menor. 1º) Misceláneos sobre la luz (tomados de Richard Feynman) No podemos alcanzar a la luz ni “recortarle” velocidad, del mismo modo que no podemos alcanzar el horizonte: es como la zanahoria frente al burro. Siempre permanece a la misma distancia conceptual. Las ecuaciones de Maxwell ya anunciaban algo extraordinario: hablan de una velocidad de la luz sin especificar respecto de qué sistema de referencia. Eso sugiere que la velocidad de la luz no es una propiedad de la luz misma, sino del espacio-tiempo. Vivimos en un universo elástico, un mundo de “chicle”, donde cada objeto arrastra su propia burbuja de tiempo. Todos nos desplazamos por el espacio-tiempo a una velocidad total constante. Si aumentamos nuestra velocidad en el espacio, disminuimos nuestra velocidad en el tiempo, y viceversa. La constancia de c no es sólo espacial: es una constancia en el cuatriespacio. Por eso puede decirse que vivimos en un automóvil con el acelerador a fondo: siempre viajamos a la velocidad máxima permitida por el universo, que es c, aunque casi toda esa velocidad la consumimos desplazándonos por el tiempo. Nuestra propia masa nos ancla. La masa es resistencia al cambio de movimiento en el espacio-tiempo, y es lo que impide que alcancemos la velocidad de la luz en las cuatro dimensiones. La luz, en cambio, no tiene masa: es energía sin equipaje, liberada de la tiranía de la inercia. Desde esta perspectiva, ocurre algo aún más radical: para un fotón no transcurre el tiempo. Un fotón que “sale” de una estrella y “llega” a la Tierra no vive ese trayecto. Para él, la emisión y la absorción son el mismo instante. El universo, para la luz, está plegado: el punto de partida y el de llegada coinciden. La luz no experimenta el universo: lo conecta. No viaja en el sentido humano del término. Es una costura perfecta del espacio-tiempo. Somos nosotros, atrapados en el fluir temporal, quienes interpretamos ese vínculo como movimiento. Así, los famosos 300.000 km/s no son simplemente “la velocidad de la luz”, sino la tasa de conversión entre espacio y tiempo: cuántas unidades de espacio equivalen a una unidad de tiempo. Es la estructura misma de la carretera del cosmos. Todo lo que percibimos del universo es, inevitablemente, arqueológico: vemos el pasado. Si la velocidad de la luz fuera infinita, todos los sucesos llegarían simultáneamente. No existiría causalidad, ni antes ni después. Todo ocurriría aquí y ahora. La finitud de c impide ese colapso. Gracias a ese límite, los eventos pueden separarse, ordenarse y encadenarse. Gracias a esa “lentitud” relativa, el universo posee una estructura narrativa. La velocidad de la luz no es un obstáculo: es el pegamento que mantiene al cosmos coherente. Nos protege de las paradojas, separa los sucesos, crea compartimentos causales. Si el espacio-tiempo es un bloque único, distintos observadores, al cortar ese bloque desde distintos estados de movimiento, obtienen “presentes” diferentes. Algo que para uno es ahora, para otro puede ser pasado o futuro. Por eso, este límite no es un defecto cósmico. Es el garante de nuestra individualidad. Es nuestro protector. 2º) Misceláneos sobre la luz (tomados de Richard Feynman) En relatividad, espacio (e), tiempo (t) y la constante "c" forman una estructura inseparable. "c" no aparece como un simple dato empírico, sino como el nexo profundo entre ambas coordenadas. No es sólo una velocidad: es el factor que convierte espacio en tiempo y tiempo en espacio. Históricamente, la velocidad de la luz fue una de las primeras constantes naturales medidas con precisión, pero su verdadero significado emergió más tarde: "c" es el valor máximo de la causalidad. No hay transmisión de información, influencia o perturbación física que pueda propagarse más rápido que "c". En relatividad especial, la llamada masa relativista ("m·gamma") puede interpretarse como resistencia a la aceleración. A medida que un cuerpo se acerca a "c", esa resistencia crece sin límite. El fotón, en cambio, tiene masa invariante nula y por eso no puede ir más lento ni más rápido: simplemente es "c". Esto conduce a una consecuencia radical. Para un fotón, el tiempo propio del viaje es cero. La dilatación temporal se vuelve infinita y las distancias, en la dirección del movimiento, se contraen a cero. Desde esa “no-perspectiva”, el trayecto del Sol a la Tierra ocurre en un instante nulo. Para la luz, entonces, todo el universo se reduce a un punto-instante. "c" es, por tanto, el límite de velocidad de la información. Define el cono de luz, la estructura causal del espacio-tiempo. No existe un “ahora” universal: distintos observadores cortan el bloque del espacio-tiempo de maneras distintas, y lo que es presente para uno puede ser pasado o futuro para otro. Las ondas gravitacionales, al igual que la luz, se propagan a "c". Esto refuerza la idea de que "c" no es una propiedad de la luz en sí, sino de la geometría del espacio-tiempo: es la velocidad de propagación de cualquier perturbación causal. En cosmología, el espacio entre galaxias lejanas se expande. Esa expansión puede hacer que las distancias crezcan a una tasa mayor que "c" sin violar la relatividad, porque no se trata de objetos moviéndose "a través" del espacio, sino del propio espacio estirándose. Por eso existen regiones del universo que nunca podremos observar: están fuera de nuestro horizonte causal. Todo esto puede resumirse como que la "c" es simultáneamente varias cuestiones: - la velocidad de la luz (aprox. 3000.000 km/s para un observador externo y vale 1 / (donde es la impermeabilidad magnética en el vacío y la permeabilidad eléctrica en el vacío). Esto está demostrado en el tratado "A Treatise on Electricity and Magnetism", 1873, James Clerk Maxwell). Téngase presente que el número al que llegó Maxwell es sólo una coincidencia —o sea que no implica necesariamente que sea producido por las permitividades. - la tasa de conversión entre espacio y tiempo - el límite fundamental de la velocidad de la causalidad (Ley de Causa-Efecto) - para la luz (fotón) todo el universo es un instante (tiempo nulo) y punto (espacio nulo). Esto debido a la singuraridad de Lorentz () Y, sin embargo, lo más profundo es lo que no sabemos. No sabemos por qué "c" tiene ese valor. No sabemos por qué existe un límite de velocidad. No sabemos si "c" es siempre constante. No sabemos por qué el universo no es newtoniano. Y, sobre todo, aún no sabemos cómo reconciliar la relatividad —donde "c" es central— con la mecánica cuántica. "c" no es una respuesta, sino la frontera misma de lo que deberá ser respondido.