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Nos propondremos plantear un cálculo diferencial e integral del análisis matemático en su abstracción perfecta.


Partiremos desde su concepto más básico con fines pedagógicos para ir profundizándolo y ver con ello su utilidad, inclusive que mostrará al ortodoxo de Newton-Leibnitz como un caso particular del mismo.


El diferencial y la integral

Cuando tenemos un incremento (o porcentaje) de un objeto, función, fenómeno o número, sabemos que podemos pensarlo como una fracción adimensional (sin magnitud) lo más pequeña que se nos ocurra: = 1/10, 1/100, 1/1000..., y cuando se llega a la indeterminación infinita deviene entonces el concepto de "diferencial" (que usaré con el símbolo de Jacobi para generalizar parcialidades de una función) = 1/.

De una manera antagónica, cuando este incremento adimensional aumenta, lo podremos llevar a un concepto extremadamente inmenso como el infinito: = 1/ = . En otros términos un diferencial es un incremento infinitamene pequeño y una integral no es sino más que un incremento infinitamente grande.

Estas fracciones, cuyas proporciones no tienen porqué ser idénticas, en la abstracción límite sí lo serán determinando por tanto que su producto es la unidad = 1


El operador trascendente

Lo que llamo operador trascendente no es más que el operador derivada de una función con la nomenclatura de Euler, entendida como funcional o función de distribución.

Es muy simple, no nos compliquemos. Observe cómo se aplica esto a una función cualquiera de una variable "x" usando la nomenclatura de Leibnitz

[ f(x) ] / x  =  D f(x)     anotación de una dervada con el operador "D" de Euler

Cuando estamos en Física, los conceptos de velocidad, aceleración, gradiente y laplaciano (divergencia del gradiente) toman, respectivamente y confome a mi nomenclatura (*1), la siguiente disposición

[ f(t) ] / t  =  f(t)     anotación con mi operador trascendente de velocidad = /t
[
df(t) ] / t  =  2 f(t)      anotación con mi operador trascendente de aceleración 2 = = /t = /t
[ f(x) ] / x  =  f(x)     anotación con mi operador trascendente de gradiente = /x
[ f(x) ] / x  =  f(x)     anotación con mi operador trascendente de laplaciano = /x ( /x)

Por consiguiente, estos operadores permitirán expresar funciones de distribución de un fenómeno f(x,t) dado. Esto es decir, funciones trascendentes que conformarán la distribución espacio-temporal de un cierto fenómeno.


La filosofía proposicional

Considerando a la Filosofía Proposicional del Lenguaje (*2), cada una de estas funciones de distribución implica un producto lógico, es decir, un adjetivo (predicado o cualificacón) aplicado a un sustantivo (sustancia, sustrato, objeto, fenómeno, cuantificación u ousía).

De esta manera vemos cómo es posible que un objeto, fenómeno o cosa física pueda ser adjetivizada, conformada, por una función trascendente. Y con ello, a partir de aquí, podemos establecer la existencia de un "álgebra de predicados", es decir, de poder operar estos funcionales con las propiedades del álgebra ortodoxa por todos conocida.

Así, sumarlos, restarlos, multiplicarlos, potenciarlos, pasarlos de un miembro a otro de una ecuación como términos, etc. se podrá hacer. Fíjese, a sólo modo de ejemplo, cómo podemos obtener fácilmente la ecuación de Euler-Lagrange (*3) con estos procederes:

L = Ecinetica - Epotencial    Lagrangiano
L  =  /. t/t. L = /t. t/. L = /t. L/(/t) = /t. (L/x)/(/t) = /t . L/x = L/x
  0  =  L - L  =  L/x -   ecuación de Euler-Lagrange (/t. [L/(x/t)] - L/x)


Significado físico de los operadores

Sabemos que un incremento siempre lo es de algo, está o es un "sujeto" de algún "objeto".

De esta manera, si "simbolizamos" una cuestión esta puede ser perfectamente abstracta, es decir: un pensamiento. Pero cuando queremos "significar" algo, siempre hay una correspondencia ostensiva a un fenómeno u objeto fáctico, tal cual lo explica la semántica de la semiótica.

Para estos últimos casos, donde un operador trascendente que pretendemos se aplique o distribuya configurando a una función, entonces el mismo debe poseer un "significado". Por tanto, y para no alterar su contenido, lo hacemos con la unidad

    .1

de igual manera en la operativa integro-diferencial

    .1  = 1

y esto determina que los operadores trascendentes tienen la semejanza y propiedades de la función de Kronecker. Por ejemplo, cuando la variable es temporal, resulta

= /t   1/t       "impulso unidad" o Delta de Kronecker *

o sea, posee un concepto muestral, que implicará una "muestra" temporal al fenómeno considerado distribuyéndolo (distribución o representación gráfica) y captando de él todo su contenido (fenomenología) desde el inicio hasta el final de los tiempos; esto es, que contedrá todo el fenómeno (*1). Y esto resulta posible porque es una abstracción infinitamente aguda, o sea un impulso ideal cuyo espectro por tanto es infinito y plano de magnitud unitaria —por la transformación de Laplace. Su respuesta aplicada a un fenómeno (transferencia o transmitancia) determinará su contenido.

Es de notar que si la muestra f(t) —pendiente o velocidad en un punto del fenómeno f(t)— contiene la información de cómo ha fluído y de cómo lo hará, es evidente de que debe existir un potencial generatriz implícito en que informa dicho devenir. Llamo a esta nueva trascendencia , donde será por tanto ().

Los mismos conceptos podrán aplicarse a los demás operadores trascendentes, cobrando nuestra excusiva atención en nuestros estudios aplicados el del gradiente , donde haremos partícipe aquí también al nuevo concepto sugerido ().

Y finalmente para nuestra aplicabilidad trascendental (*1) (respetando mi terminología original de hace décadas, aclaro que aquí "" no es ni un "incremento" ni un "laplaciano" sino un "operador trascendental de la fenomenología cuadrivectorial del espacio-tiempo") podemos generalizar () =  [ (() ]T.



Referencias

(*1)  TAIT, Eugenio Máximo - "Filosofía Crítica Trascendental" (2000), cap.1 Filosofía Crítica Trascendental, § Cálculo diferencial trascendental
(*2)  TAIT, Eugenio Máximo - "Epistemología y Lógica" (2000)
(*3)  Wikipedia - "Lagraniano", https://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangiano



Eugenio
31/07/21
Contacto, Mar del Plata, Argentina